Étude d'une fonction trigonométrique

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\cos(2x)-1\).

1. Calculer \(f(0)\), \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\), \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
2. Résoudre l'équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).
\(\)3. Étudier la parité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Démontrer que la fonction \(f\) est \(\pi\)-périodique.
5. Justifier que l'on peut restreindre l'étude de la fonction \(f\) à l'intervalle \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
6. Sachant que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur l'intervalle \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), et compte tenu des résultats obtenus précédemment, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-2\pi\,;2\pi]\).